24 Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если ВН=13.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠B = 90°. BH — высота, проведенная к гипотенузе AC. Точка H — основание высоты.

Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно.

1. Свойство окружности: Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
2. Рассмотрим треугольник BPH: Угол BPH опирается на диаметр BH, следовательно, ∠BPH = 90°. Это означает, что PH перпендикулярно AB.
3. Рассмотрим треугольник BKH: Угол BKH опирается на диаметр BH, следовательно, ∠BKH = 90°. Это означает, что KH перпендикулярно CB.
4. Свойства высоты в прямоугольном треугольнике: Высота BH делит прямоугольный треугольник ABC на два подобных треугольника: ABH и CBH. Также, треугольник ABC подобен треугольнику ABH и треугольнику CBH.
5. Рассмотрим четырехугольник BPKH:
   ∠BPK = 90° (угол, опирающийся на диаметр BH).
   ∠BKH = 90° (угол, опирающийся на диаметр BH).
   ∠PBK = ∠ABC = 90° (по условию, треугольник ABC прямоугольный).
   Сумма углов четырехугольника равна 360°. Если три угла равны 90°, то и четвертый угол (∠PKH) равен 90°.
6. Вывод: Четырехугольник BPKH является прямоугольником.
7. Свойство прямоугольника: Противоположные стороны равны. Следовательно, PK = BH и PH = BK.
8. Поскольку BH является диаметром окружности, а PK — хорда, опирающаяся на тот же диаметр (в данном случае PK является диагональю прямоугольника BPKH, и BH также является диагональю этого прямоугольника, так как окружность проходит через P и K, и BH - ее диаметр), то длина PK равна длине диаметра BH.
9. По условию, BH = 13.

Ответ: 13