24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁A₁ и CAA₁ равны.

Так как \(AA_1\) — высота, то \(AA_1\perp BC\), а поскольку точка \(C_1\) лежит на \(AB\), получаем \(\angle AC_1C=90^\circ\).

Так как \(CC_1\) — высота, то \(CC_1\perp AB\), а поскольку точка \(A_1\) лежит на \(BC\), получаем \(\angle CA_1A=90^\circ\).

Следовательно, четырёхугольник \(A A_1 C_1 C\) является вписанным в окружность с диаметром \(AC\), поскольку противоположные углы \(AA_1C\) и \(AC_1C\) прямые.

В одной окружности вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду \(CA_1\), равны. Поэтому \(\angle CC_1A_1=\angle CAA_1\).

Что и требовалось доказать.