24. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN — ромб.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\). Поскольку \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), имеем \(BM=BN=\frac a2\).

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Поэтому \(MK=\frac{BC}{2}=\frac a2\), а \(KN=\frac{AB}{2}=\frac a2\).

Таким образом, \(BM=MK=KN=NB\). Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, \(BMKN\) — ромб.