24. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

Так как \(AA_1\) и \(CC_1\) являются высотами, то

\(AA_1\perp BC\), \(CC_1\perp AB\).

Точки \(A_1\) и \(B\) лежат на одной прямой с \(C\), а точки \(C_1\) и \(B\) — на одной прямой с \(A\). Поэтому

\(\angle A_1BC_1=\angle ABC\).

Четырёхугольник \(AA_1CC_1\) является вписанным, поскольку

\(\angle AA_1C=90^\circ\) и \(\angle AC_1C=90^\circ\).

Из равенства вписанных углов, опирающихся на соответствующие дуги, получаем

\(\angle A_1C_1B=\angle ACB\).

Таким образом, у треугольников \(A_1BC_1\) и \(ABC\) равны два угла:

\(\angle A_1BC_1=\angle ABC\), \(\angle A_1C_1B=\angle ACB\).

Следовательно, треугольники подобны по двум углам:

\(\triangle A_1BC_1\sim\triangle ABC\).