243. Решить системы уравнений: 1) {5ˣ − 5ʸ = 100; 5ˣ⁻¹ + 5ʸ⁻¹ = 30}; 2) {2ˣ − 9 · 3ʸ = 7; 2ˣ · 3ʸ = 8/9}.

Обозначим \(a=5^x\), \(b=5^y\). Тогда \(a-b=100\), а второе уравнение даёт \(\frac{a+b}{5}=30\), то есть \(a+b=150\). Складывая эти равенства, получаем \(2a=250\), значит \(a=125=5^3\). Тогда \(b=25=5^2\), поэтому \(x=3\), \(y=2\).

Ответ: \((3;2)\).

Обозначим \(A=2^x\), \(B=3^y\). Получаем \(A-9B=7\) и \(AB=\frac89\). Подставим \(A=7+9B\) во второе уравнение: \((7+9B)B=\frac89\), откуда \(81B^2+63B-8=0\).

Корни этого уравнения: \(B=\frac19\) и \(B=-\frac89\). Так как \(3^y>0\), подходит только \(B=\frac19=3^{-2}\). Тогда \(A=7+9\cdot\frac19=8=2^3\), следовательно, \(x=3\), \(y=-2\).

Ответ: \((3;-2)\).