25. Биссектриса AD треугольника ABC делит его медиану BM пополам. В каком отношении медиана BM делит биссектрису AD?

Обозначим через \(P\) точку пересечения \(AD\) и \(BM\). По условию \(P\) — середина медианы \(BM\). Положим \(BD:DC=r:1\). По теореме о биссектрисе \(AB:AC=r:1\).

В координатах с началом в точке \(A\) точка \(D\) делит \(BC\) в отношении \(r:1\), поэтому \(D=\frac{B+rC}{r+1}\), а середина \(M\) отрезка \(AC\) имеет координаты \(C/2\). Точка пересечения прямых \(AD\) и \(BM\) делит \(AD\) в отношении \(AP:PD=(r+1):2\). При условии, что \(P\) — середина \(BM\), получается \(r=1\), следовательно, \(AP:PD=2:1\).

Ответ: \(2:1\).