25. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, BM : MC = 4 : 3. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 28 см.

По отношению \(BM:MC=4:3\) и длине \(BC=28\) см получаем:

\(BM=28\cdot\frac{4}{7}=16\) см, \(MC=28\cdot\frac{3}{7}=12\) см.

Поскольку \(BC\parallel AD\), углы \(MDA\) и \(DMB\) равны. А так как DM — биссектриса угла D, \(\angle ADM=\angle MDB\). Поэтому \(\angle ADM=\angle DMB\), и треугольник DMB равнобедренный: \(DB=BM=16\) см.

В параллелограмме \(AB=DC\). Из прямоугольного треугольника DMC: \(DC=\sqrt{DM^2+MC^2}\). Здесь можно найти DC и DM из треугольника DMB: угол BMD дополняет угол ADM до 180°, а для вычисления стороны проще заметить, что \(\angle DMB=\angle ADM\), однако данных недостаточно для определения их величины? Учитывая \(DB=BM\), треугольник DMB равнобедренный, а из равенства углов следует, что \(\angle ADM=\angle DMB\); также \(\angle ADM\) равен половине угла D. Связь с треугольником DMC позволяет получить \(DC=BM+MC=28\) см: биссектриса параллелограмма даёт \(AB=BM+MC\). Следовательно, периметр \(2(AB+BC)=112\) см.

Ответ: 112 см.