25) Боковое ребро правильного тетраэдра наклонено к плоскости основания под углом 45°. Высота тетраэдра 4 см. Найти объем тетраэдра.

Решение:

1. Найдём сторону основания (a):

* Правильный тетраэдр — это правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, а боковые грани — равносторонние треугольники.

* В основании лежит равносторонний треугольник. Высота тетраэдра \( H = 4 \) см.

* Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°.

* Пусть \( L \) — точка пересечения высоты тетраэдра с плоскостью основания. \( O \) — вершина тетраэдра. \( A \) — вершина основания. \( OA \) — боковое ребро. \( LO \) — высота тетраэдра. \( LA \) — проекция бокового ребра на основание.

* В прямоугольном треугольнике \( OLA \), \( \angle OAL = 45^{\circ} \) (угол наклона бокового ребра), \( \angle OLA = 90^{\circ} \) (высота перпендикулярна основанию).

* Так как \( \angle OAL = 45^{\circ} \), то \( \triangle OLA \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, \( OL = LA \).

* Высота тетраэдра \( H = OL = 4 \) см.

* Следовательно, \( LA = 4 \) см.

* \( LA \) — это расстояние от центра основания (где лежит высота) до вершины равностороннего треугольника. Это расстояние равно \( \frac{2}{3} \) высоты основания \( h_{осн} \).

* \( LA = \frac{2}{3} h_{осн} \Rightarrow 4 = \frac{2}{3} h_{осн} \Rightarrow h_{осн} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \) см.

* Высота равностороннего треугольника связана со стороной \( a \) формулой: \( h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

* \( 6 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.

2. Найдём площадь основания:

* \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \) см².

3. Найдём объём тетраэдра:

* Объём тетраэдра: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \).

* \( V = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} \) см³.

Ответ: \( 16\sqrt{3} \) см³.