25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=43 и CD=4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Угол \(AKB\) — угол между хордами \(AC\) и \(BD\). По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами,

\[\angle AKB=\frac12\bigl(\overset\frown{AB}+\overset\frown{CD}\bigr).\]

Следовательно, сумма дуг \(AB\) и \(CD\) равна \(120^\circ\). Обозначим через \(x\) и \(y\) половины соответствующих дуг. Тогда

\[x+y=60^\circ.\]

Пусть \(R\) — радиус окружности. По формуле длины хорды:

\[43=2R\sin x,\qquad 4=2R\sin y.\]

Так как \(y=60^\circ-x\), получаем

\[\frac4{2R}=\sin(60^\circ-x)=\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x.\]

Подставим \(\sin x=\frac{43}{2R}\) и \(\cos x=\frac{\sqrt{4R^2-43^2}}{2R}\):

\[4=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{4R^2-43^2}-\frac{43}{2}.\]

Отсюда

\[\sqrt3\sqrt{4R^2-1849}=51,\]

\[3(4R^2-1849)=2601,\qquad 4R^2=2716,\]

\[R^2=679.\]

Так как радиус положителен,

\[R=\sqrt{679}.\]

Ответ: \(\sqrt{679}\).