25 Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть диагональ призмы равна D, сторона основания равна a, высота призмы равна H. Диагональ основания равна d = a√2. Диагональ призмы D = √(d² + H²) = √(2a² + H²). Диагональ боковой грани равна √(a² + H²). Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен 30°. Пусть эта грань имеет стороны a и H. Тогда sin(30°) = a / D = a / √(2a² + H²). 1/2 = a / √(2a² + H²). 1/4 = a² / (2a² + H²). 2a² + H² = 4a². H² = 2a². H = a√2. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен α. Тогда tan(α) = H / d = H / (a√2). Подставляем H = a√2: tan(α) = (a√2) / (a√2) = 1. Следовательно, α = 45°.