25. Начертите треугольник ABC и отметьте его любую точку M. Отразите точку M относительно вершины A и получите точку M₁. Теперь отразите M₁ относительно вершины B и получите точку M₂. Затем отразите M₂ относительно вершины C и получите точку M₃. Сделайте аналогичное построение для ещё нескольких точек M. Убедитесь, что точки M и M₃ симметричны относительно одного центра. Где он находится?

При отражении относительно точки эта точка является серединой отрезка, соединяющего исходную точку и её образ:

1. Построить точку M₁ так, чтобы A была серединой отрезка MM₁.
2. Построить точку M₂ так, чтобы B была серединой отрезка M₁M₂.
3. Построить точку M₃ так, чтобы C была серединой отрезка M₂M₃.

Обозначим радиус-векторы вершин и точек буквами с соответствующими индексами. Тогда:

\(M_1=2A-M\),

\(M_2=2B-M_1=M+2B-2A\),

\(M_3=2C-M_2=2(A-B+C)-M\).

Следовательно, точка M₃ является образом точки M при центральной симметрии с центром \(O\), где

\(O=A-B+C\).

Геометрически центр O находится на продолжении диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(AB\) и \(BC\): он является четвёртой вершиной параллелограмма ABCO, если вершины записаны в порядке A–B–C–O. Поэтому O — точка, для которой \(AO\parallel BC\) и \(CO\parallel AB\).

Ответ: точки M и M₃ симметричны относительно одной и той же точки O — четвёртой вершины параллелограмма ABCO.