25. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 24.

Обозначим биссектрису \(AD\), где \(D\) лежит на стороне \(BC\), а точку пересечения биссектрис — \(I\). Для инцентра выполняется соотношение \(AI:ID=(AB+AC):BC\).

1. По условию отношение, отсчитываемое от вершины, равно \(AI:ID=5:3\). Значит, \((AB+AC):BC=5:3\).
2. Сторона, к которой проведена биссектриса, равна \(BC=24\), то есть 3 долям. Одна доля равна \(24:3=8\).
3. Тогда \(AB+AC=5\cdot8=40\).
4. Периметр: \(AB+AC+BC=40+24=64\).

Ответ: 64.