25. Углы при одном из оснований трапеции равны 79° и 11°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 22 и 20. Найдите основания трапеции.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \), где \( a > b \). Пусть углы при одном из оснований равны \( \alpha = 79^{\circ} \) и \( \beta = 11^{\circ} \). Сумма этих углов равна \( 79^{\circ} + 11^{\circ} = 90^{\circ} \).
2. Шаг 2: Если сумма углов при основании равна \( 90^{\circ} \), то трапеция является прямоугольной, если один из углов равен \( 90^{\circ} \). В данном случае это не так. Однако, если продлить боковые стороны, они пересекутся под углом \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
3. Шаг 3: Обозначим середины противоположных сторон. Пусть \( m \) — средняя линия, соединяющая середины боковых сторон. Длина средней линии равна полусумме оснований: \( m = \frac{a+b}{2} \).
4. Шаг 4: Обозначим отрезок, соединяющий середины диагоналей, как \( d \). Длина этого отрезка равна полуразности оснований: \( d = \frac{|a-b|}{2} \).
5. Шаг 5: По условию задачи, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 22 и 20. Эти отрезки — средняя линия и отрезок, соединяющий середины диагоналей.
6. Шаг 6: Поскольку \( a > b \), то \( m = \frac{a+b}{2} \) и \( d = \frac{a-b}{2} \).
7. Шаг 7: Возможны два случая:
   Случай 1: Средняя линия \( m = 22 \) и отрезок, соединяющий середины диагоналей, \( d = 20 \).
   Случай 2: Средняя линия \( m = 20 \) и отрезок, соединяющий середины диагоналей, \( d = 22 \).
8. Шаг 8: Поскольку средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины диагоналей (так как \( a > b \), то \( a+b > a-b \)), случай 2 невозможен. Следовательно, \( m = 22 \) и \( d = 20 \).
9. Шаг 9: Составим систему уравнений:
   \( \frac{a+b}{2} = 22 \) => \( a+b = 44 \)
   \( \frac{a-b}{2} = 20 \) => \( a-b = 40 \)
10. Шаг 10: Решим систему уравнений. Сложим два уравнения:
    \( (a+b) + (a-b) = 44 + 40 \)
    \( 2a = 84 \)
    \( a = 42 \)
11. Шаг 11: Подставим значение \( a \) в первое уравнение:
    \( 42 + b = 44 \)
    \( b = 2 \)
12. Шаг 12: Проверим условие с углами. Если \( a=42 \) и \( b=2 \), то продлив боковые стороны, мы получим треугольник с углами \( 180^{\circ}-79^{\circ} = 101^{\circ} \) и \( 180^{\circ}-11^{\circ} = 169^{\circ} \) при основании, что неверно. Сумма углов при основании трапеции должна быть меньше \( 180^{\circ} \).
13. Шаг 13: Ошибочное предположение в Шаге 2. Сумма углов \( 79^{\circ} + 11^{\circ} = 90^{\circ} \) означает, что если продлить боковые стороны, они пересекутся под углом \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). То есть, боковые стороны пересекаются под прямым углом.
14. Шаг 14: Вернемся к основаниям: \( a = 42 \) и \( b = 2 \).

Ответ: Основания трапеции равны 42 и 2.