25. Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.

Один отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, — средняя линия трапеции; второй — расстояние между основаниями, то есть высота. Поэтому средняя линия равна 11, а высота равна 1.

Обозначим основания через \(a\) и \(b\), где \(a\ge b\). По свойству средней линии:

\[a+b=2\cdot11=22.\]

Горизонтальные проекции боковых сторон равны \(1\cdot\cot85^\circ\) и \(1\cdot\cot5^\circ\). Следовательно, разность оснований:

\[a-b=\cot85^\circ+\cot5^\circ.\]

Решая систему для суммы и разности, получаем:

\[a=11+\frac{\cot85^\circ+\cot5^\circ}{2},\qquad b=11-\frac{\cot85^\circ+\cot5^\circ}{2}.\]

Приблизительно \(a\approx16.76\), \(b\approx5.24\).

Ответ: основания приблизительно равны 16.76 и 5.24.