25. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=20.

Пусть \(AB=x\) по горизонтали, а высота трапеции равна \(h\). Тогда горизонтальная проекция стороны \(CD\) равна \(49-21-x=28-x\).

Так как сумма углов при основании \(AD\) равна \(90^\circ\), соответствующие углы дополняют друг друга до прямого, поэтому:

\(h^2=x(28-x)\).

Из условия \(AB=20\):

\(x^2+h^2=400\).

Подставим выражение для \(h^2\):

\(x^2+x(28-x)=400\), откуда \(28x=400\), \(x=\frac{100}{7}\).

Вектор \(AB\) перпендикулярен прямой \(CD\). Пусть \(Q=AB\cap CD\), а \(M\) — середина \(AB\). Из координатного условия получается \(AQ=35\), поэтому \(MQ=35-10=25\).

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\). Если её радиус равен \(R\), из прямоугольного треугольника, образованного половиной хорды \(AB\), и условия касания к \(CD\), получаем:

\(R=\frac{MQ^2+(AB/2)^2}{2MQ}=\frac{25^2+10^2}{2\cdot25}=\frac{725}{50}=\frac{29}{2}\).

Ответ: \(\frac{29}{2}\).