25. В трапеции $CORN$ основания $CN$ и $OR$ равны соответственно 45 и 43, а сумма углов при основании $CN$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $C$ и $O$ и касающейся прямой $RN$, если $CO=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 25. В трапеции $CORN$ основания $CN$ и $OR$ равны соответственно 45 и 43, а сумма углов при основании $CN$ равна…$ Фото задания

25. В трапеции $CORN$ основания $CN$ и $OR$ равны соответственно 45 и 43, а сумма углов при основании $CN$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $C$ и $O$ и касающейся прямой $RN$, если $CO=1$.

Accepted Answer

Расположим $C=(0,0)$, $N=(45,0)$, а верхнее основание на высоте $h$: пусть $O=(a,h)$, $R=(a+43,h)$. Тогда горизонтальный сдвиг правой боковой стороны равен $45-(a+43)=2-a$.

Обозначим углы при основании $CN$ через $\alpha$ и $\beta$. Из условия $\alpha+\beta=90^\circ$, а по геометрии трапеции $\tan\alpha=h/a$, $\tan\beta=h/(2-a)$. Для дополнительных углов произведение тангенсов равно 1, поэтому $h^2=a(2-a)$.

Также $CO=1$, значит $a^2+h^2=1$. Подставляя выражение для $h^2$, получаем $a^2+a(2-a)=1$, откуда $a=\frac12$, а $h=\frac{\sqrt3}{2}$.

Теперь $O=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$, то есть вектор $CO$ — единичный. Центр окружности, проходящей через $C" и \(O$, лежит на серединном перпендикуляре к $CO$. В координатах центр имеет вид $K=\frac12\overrightarrow{CO}+t\overrightarrow{u}$, где $\overrightarrow{u}$ — единичный вектор, перпендикулярный $CO$. Тогда радиус $r=KC=\sqrt{\frac14+t^2}$.

Прямая $RN$ параллельна вектору $(-\frac32,\frac{\sqrt3}{2})$; расстояние от точки $C$ до неё равно $\frac{45h}{\sqrt3}=22.5$. Нормаль к этой прямой перпендикулярна $CO$, поэтому при смещении центра вдоль серединного перпендикуляра расстояние от центра до $RN$ остаётся 22. Условие касания даёт $r=22$.

Ответ: 22.