25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=8.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть \(BH\) — высота, а точка пересечения биссектрисы угла \(A\) с высотой — \(E\). По условию \(BE:EH=5:3\), поэтому \(EH=\frac38BH\).

Введём координаты: \(A=(0;0)\), \(C=(8;0)\), \(B=(u;v)\). Тогда \(H=(u;0)\), а \(E=(u;\frac38v)\).

Точка \(E\) лежит на биссектрисе угла между сторонами \(AB\) и \(AC"). Поэтому расстояния от \(E\) до этих сторон равны:

\[\frac{5uv}{8AB}=\frac{3v}{8}.\]

Отсюда \(AB=\frac53u\). Тогда

\[v=\frac43u.\]

Используем условие \(BC=8\):

\[(8-u)^2+\left(\frac43u\right)^2=64.\]

Отсюда \(u=\frac{144}{25}\), поэтому \(AB=\frac{48}{5}\), а \(BH=v=\frac{192}{25}\).

Площадь треугольника:

\[S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot8\cdot\frac{192}{25}=\frac{768}{25}.\]

По формуле \(R=\frac{abc}{4S}\):

\[R=\frac{8\cdot8\cdot\frac{48}{5}}{4\cdot\frac{768}{25}}=5.\]

Ответ: 5.