21. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние между А и В.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобилиста.

Время первого автомобилиста: \( t_1 = \frac{S}{v_1} \).

Скорость второго автомобилиста на второй половине пути: \( v_{2,2} = v_1 + 9 \).

Время второго автомобилиста на первой половине пути: \( t_{2,1} = \frac{S/2}{30} = \frac{S}{60} \).

Время второго автомобилиста на второй половине пути: \( t_{2,2} = \frac{S/2}{v_1 + 9} = \frac{S}{2(v_1 + 9)} \).

Общее время второго автомобилиста: \( t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v_1 + 9)} \).

Так как они прибыли одновременно, \( t_1 = t_2 \):

\( \frac{S}{v_1} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v_1 + 9)} \).

Разделим обе части на \( S \) (так как \( S \) не равно 0):

\( \frac{1}{v_1} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v_1 + 9)} \).

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{1}{v_1} = \frac{2(v_1 + 9) + 60}{120(v_1 + 9)} \)

\( \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 18 + 60}{120v_1 + 1080} \)

\( \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 78}{120v_1 + 1080} \)

\( 120v_1 + 1080 = v_1(2v_1 + 78) \)

\( 120v_1 + 1080 = 2v_1^2 + 78v_1 \)

\( 2v_1^2 + 78v_1 - 120v_1 - 1080 = 0 \)

\( 2v_1^2 - 42v_1 - 1080 = 0 \)

Разделим на 2:

\( v_1^2 - 21v_1 - 540 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-21)^2 - 4(1)(-540) = 441 + 2160 = 2601 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51 \)

\( v_1 = \frac{21 \pm 51}{2} \)

\( v_{1,1} = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)

\( v_{1,2} = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: 36 км/ч