256. Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам от деления на: а) 2; б) 3; в) 5; г) 6. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера — Венна получившиеся классы. Сколько классов у вас получилось? Сформулируйте гипотезу и докажите её.

При делении целого числа на положительное число m остаток равен одному из чисел 0, 1, …, m − 1. Поэтому для каждого делителя получаются непересекающиеся классы целых чисел; вместе они составляют множество ℤ.

а) Деление на 2: классы остатка 0 и 1 — чётные и нечётные числа. Всего 2 класса.

б) Деление на 3: классы остатков 0, 1, 2. Всего 3 класса.

в) Деление на 5: классы остатков 0, 1, 2, 3, 4. Всего 5 классов.

г) Деление на 6: классы остатков 0, 1, 2, 3, 4, 5. Всего 6 классов.

Гипотеза: при делении множества целых чисел на m классов по остаткам получается m классов.

Доказательство: по теореме о делении с остатком любое целое число a единственным образом представляется в виде a = mq + r, где q — целое число, а r ∈ {0, 1, …, m − 1}. Значит, каждое целое число принадлежит ровно одному классу с остатком r, и каждый из m возможных остатков задаёт свой класс. Всего классов m.