257. Проведите классификацию элементов множества A по остаткам от их деления на b: а) A = {−10; −7; −1; 0; 3; 8; 14; 20}, b = 4; б) A = {−8; −4; 0; 5; 9; 11; 16}, b = 3. Проверьте, что каждый элемент множества A попал ровно в один класс.

Используем остатки от деления, принятые для целых чисел: они неотрицательны и меньше делителя.

1. а) При делении на 4: −10 = 4 · (−3) + 2; −7 = 4 · (−2) + 1; −1 = 4 · (−1) + 3; 0 = 4 · 0 + 0; 3 = 4 · 0 + 3; 8 = 4 · 2 + 0; 14 = 4 · 3 + 2; 20 = 4 · 5 + 0.
   Класс остатка 0: {0; 8; 20}. Класс остатка 1: {−7}. Класс остатка 2: {−10; 14}. Класс остатка 3: {−1; 3}.
2. б) При делении на 3: −8 = 3 · (−3) + 1; −4 = 3 · (−2) + 2; 0 = 3 · 0 + 0; 5 = 3 · 1 + 2; 9 = 3 · 3 + 0; 11 = 3 · 3 + 2; 16 = 3 · 5 + 1.
   Класс остатка 0: {0; 9}. Класс остатка 1: {−8; 16}. Класс остатка 2: {−4; 5; 11}.

В каждом пункте классы не пересекаются и вместе содержат все элементы заданного множества. Единственность остатка при делении на положительное число гарантирует, что каждый элемент попал ровно в один класс.