26.3. 1) В ромбе ABCD, где угол A острый, BE и BF — высоты. а) Докажите, что BE = BF. б) Найдите углы ромба. Угол между диагональю BD и высотой BF равен 40°. 2) Постройте прямоугольник по одной из сторон и диагонали.

1а) Высоты BE и BF проведены из вершины B к прямым AD и CD. Площадь ромба можно выразить через любую сторону и соответствующую высоту: S = AD · BE = CD · BF. В ромбе AD = CD, поэтому BE = BF.

1б) Диагональ BD делит угол D пополам. Так как BF ⟂ CD, угол между BD и BF равен 90° − ∠D/2. По условию 90° − ∠D/2 = 40°, значит ∠D = 100°. Противоположные углы ромба равны, а соседние в сумме дают 180°: ∠B = 100°, ∠A = ∠C = 80°.

Ответ: ∠A = ∠C = 80°, ∠B = ∠D = 100°.

2) Для заданных стороны AB и диагонали AC постройте треугольник ABC: из A проведите окружность радиуса AC, из B — окружность радиуса AB; их пересечение задаёт C. Через B проведите перпендикуляр к AB, через C — параллельную AB прямую; их пересечение обозначьте D. ABCD — прямоугольник. Если длина диагонали меньше длины стороны, построение невозможно.