26. Найдите наибольший общий делитель двух чисел:

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно разложить каждое число на простые множители и перемножить общие множители в наименьшей степени.

А) 14 и 49

• \( 14 = 2 \cdot 7 \)
• \( 49 = 7 \cdot 7 = 7^2 \)
• Общий множитель: 7.

Б) 12 и 27

• \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 \)
• Общий множитель: 3.

В) 32 и 125

• \( 32 = 2^5 \)
• \( 125 = 5^3 \)
• Общих множителей нет. НОД = 1.

Г) 75 и 135

• \( 75 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^2 \)
• \( 135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5 \)
• Общие множители: 3, 5.
• \( \text{НОД}(75, 135) = 3 \cdot 5 = 15 \)

Д) 144 и 300

• \( 144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2 \)
• \( 300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
• Общие множители: 2 (в степени 2), 3 (в степени 1).
• \( \text{НОД}(144, 300) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \)

Е) 1512 и 1764

• \( 1512 = 2 \cdot 756 = 2^2 \cdot 378 = 2^3 \cdot 189 = 2^3 \cdot 3 \cdot 63 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7 \)
• \( 1764 = 2 \cdot 882 = 2^2 \cdot 441 = 2^2 \cdot 3 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \)
• Общие множители: 2 (в степени 2), 3 (в степени 2), 7 (в степени 1).
• \( \text{НОД}(1512, 1764) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 36 \cdot 7 = 252 \)

Ж) 677 и 678

• Эти числа являются соседними, поэтому их НОД равен 1.

3) 5600 и 5601

• Эти числа являются соседними, поэтому их НОД равен 1.

И) 13932 и 17200

• \( 13932 = 2 \cdot 6966 = 2^2 \cdot 3483 = 2^2 \cdot 3 \cdot 1161 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 387 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 129 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 43 \)
• \( 17200 = 172 \cdot 100 = (2^2 \cdot 43) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 43 \)
• Общие множители: \( 2^2 \), 43.
• \( \text{НОД}(13932, 17200) = 2^2 \cdot 43 = 4 \cdot 43 = 172 \)

К) 5125 и 6642

• \( 5125 = 5^3 \cdot 41 \)
• \( 6642 = 2 \cdot 3321 = 2 \cdot 3 \cdot 1107 = 2 \cdot 3^2 \cdot 369 = 2 \cdot 3^3 \cdot 123 = 2 \cdot 3^4 \cdot 41 \)
• Общие множители: 41.
• \( \text{НОД}(5125, 6642) = 41 \)

Л) 13932 и 17200

(Этот пункт совпадает с пунктом И, решение то же)

Ответ: А) 7, Б) 3, В) 1, Г) 15, Д) 12, Е) 252, Ж) 1, З) 1, И) 172, К) 41, Л) 172.