28. Найти НОД и НОК следующих чисел с помощью разложения на простые множители.

Решение:

НОД (наибольший общий делитель) находится перемножением общих простых множителей в наименьшей степени.

НОК (наименьшее общее кратное) находится перемножением всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел, в наибольшей степени.

А) 16 и 56

• \( 16 = 2^4 \)
• \( 56 = 2^3 \cdot 7 \)
• НОД(16, 56) = \( 2^3 = 8 \)
• НОК(16, 56) = \( 2^4 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112 \)

Б) 18 и 162

• \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
• \( 162 = 2 \cdot 3^4 \)
• НОД(18, 162) = \( 2 \cdot 3^2 = 18 \)
• НОК(18, 162) = \( 2 \cdot 3^4 = 162 \)

В) 820 и 984

• \( 820 = 82 \cdot 10 = 2 \cdot 41 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \cdot 41 \)
• \( 984 = 2 \cdot 492 = 2^2 \cdot 246 = 2^3 \cdot 123 = 2^3 \cdot 3 \cdot 41 \)
• НОД(820, 984) = \( 2^2 \cdot 41 = 4 \cdot 41 = 164 \)
• НОК(820, 984) = \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 41 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 41 = 24 \cdot 205 = 4920 \)

Г) 39 и 40

• \( 39 = 3 \cdot 13 \)
• \( 40 = 2^3 \cdot 5 \)
• Эти числа взаимно простые, так как не имеют общих множителей.
• НОД(39, 40) = 1
• НОК(39, 40) = \( 39 \cdot 40 = 1560 \)

Д) 21 и 22

• \( 21 = 3 \cdot 7 \)
• \( 22 = 2 \cdot 11 \)
• Эти числа взаимно простые.
• НОД(21, 22) = 1
• НОК(21, 22) = \( 21 \cdot 22 = 462 \)

Е) 627 и 570

• \( 627 = 3 \cdot 209 = 3 \cdot 11 \cdot 19 \)
• \( 570 = 10 \cdot 57 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 19 \)
• НОД(627, 570) = \( 3 \cdot 19 = 57 \)
• НОК(627, 570) = \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 = 6 \cdot 55 \cdot 19 = 330 \cdot 19 = 6270 \)

Ж) 36 и 54

• \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
• \( 54 = 2 \cdot 3^3 \)
• НОД(36, 54) = \( 2 \cdot 3^2 = 18 \)
• НОК(36, 54) = \( 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 \)

3) 364 и 190

• \( 364 = 2 \cdot 182 = 2^2 \cdot 91 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13 \)
• \( 190 = 10 \cdot 19 = 2 \cdot 5 \cdot 19 \)
• НОД(364, 190) = 2
• НОК(364, 190) = \( 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 = 20 \cdot 91 \cdot 19 = 1820 \cdot 19 = 34580 \)

И) 780 и 790

• \( 780 = 10 \cdot 78 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 13 \)
• \( 790 = 10 \cdot 79 = 2 \cdot 5 \cdot 79 \)
• НОД(780, 790) = \( 2 \cdot 5 = 10 \)
• НОК(780, 790) = \( 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 79 = 4 \cdot 15 \cdot 13 \cdot 79 = 60 \cdot 1027 = 61620 \)

К) 1625 и 3159

• \( 1625 = 5^3 \cdot 13 \)
• \( 3159 = 3 \cdot 1053 = 3^2 \cdot 351 = 3^3 \cdot 117 = 3^4 \cdot 39 = 3^5 \cdot 13 \)
• НОД(1625, 3159) = \( 13 \)
• НОК(1625, 3159) = \( 3^5 \cdot 5^3 \cdot 13 = 243 \cdot 125 \cdot 13 = 30375 \cdot 13 = 394875 \)

Л) 820 и 984

(Этот пункт совпадает с пунктом В, решение то же)

• НОД(820, 984) = 164
• НОК(820, 984) = 4920

М) 45 и 60

• \( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
• \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)
• НОД(45, 60) = \( 3 \cdot 5 = 15 \)
• НОК(45, 60) = \( 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \)

Ответ: А) НОД=8, НОК=112; Б) НОД=18, НОК=162; В) НОД=164, НОК=4920; Г) НОД=1, НОК=1560; Д) НОД=1, НОК=462; Е) НОД=57, НОК=6270; Ж) НОД=18, НОК=108; З) НОД=2, НОК=34580; И) НОД=10, НОК=61620; К) НОД=13, НОК=394875; Л) НОД=164, НОК=4920; М) НОД=15, НОК=180.