27. Найдите наибольший общий делитель с помощью разложения на множители:

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, нужно разложить каждое число на простые множители и перемножить общие множители в наименьшей степени.

А) 12, 18 и 28

• \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
• \( 28 = 2^2 \cdot 7 \)
• Общий множитель: 2 (в наименьшей степени 1).
• \( \text{НОД}(12, 18, 28) = 2 \)

Б) 162, 288 и 270

• \( 162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4 \)
• \( 288 = 2 \cdot 144 = 2^2 \cdot 72 = 2^3 \cdot 36 = 2^4 \cdot 18 = 2^5 \cdot 9 = 2^5 \cdot 3^2 \)
• \( 270 = 2 \cdot 135 = 2 \cdot 3 \cdot 45 = 2 \cdot 3^2 \cdot 15 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \)
• Общие множители: 2 (в степени 1), 3 (в степени 2).
• \( \text{НОД}(162, 288, 270) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \)

В) 315, 175, 588

• \( 315 = 3 \cdot 105 = 3^2 \cdot 35 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)
• \( 175 = 5 \cdot 35 = 5^2 \cdot 7 \)
• \( 588 = 2 \cdot 294 = 2^2 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2 \)
• Общий множитель: 7 (в степени 1).
• \( \text{НОД}(315, 175, 588) = 7 \)

Г) 170, 187 и 1377

• \( 170 = 10 \cdot 17 = 2 \cdot 5 \cdot 17 \)
• \( 187 = 11 \cdot 17 \)
• \( 1377 = 3 \cdot 459 = 3^2 \cdot 153 = 3^3 \cdot 51 = 3^4 \cdot 17 \)
• Общий множитель: 17.
• \( \text{НОД}(170, 187, 1377) = 17 \)

Д) 13, 17, 34 и 39

• \( 13 \) — простое число.
• \( 17 \) — простое число.
• \( 34 = 2 \cdot 17 \)
• \( 39 = 3 \cdot 13 \)
• Общих множителей нет (13 и 17 не являются общими для всех четырёх чисел). НОД = 1.

Е) 12, 32, 44 и 204

• \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 32 = 2^5 \)
• \( 44 = 2^2 \cdot 11 \)
• \( 204 = 2 \cdot 102 = 2^2 \cdot 51 = 2^2 \cdot 3 \cdot 17 \)
• Общий множитель: 2 (в наименьшей степени 2).
• \( \text{НОД}(12, 32, 44, 204) = 2^2 = 4 \)

Ж) 171, 1425, 456 и 399

• \( 171 = 3 \cdot 57 = 3^2 \cdot 19 \)
• \( 1425 = 3 \cdot 475 = 3 \cdot 5 \cdot 95 = 3 \cdot 5^2 \cdot 19 \)
• \( 456 = 2 \cdot 228 = 2^2 \cdot 114 = 2^3 \cdot 57 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19 \)
• \( 399 = 3 \cdot 133 = 3 \cdot 7 \cdot 19 \)
• Общие множители: 3 (в степени 1), 19 (в степени 1).
• \( \text{НОД}(171, 1425, 456, 399) = 3 \cdot 19 = 57 \)

Ответ: А) 2, Б) 18, В) 7, Г) 17, Д) 1, Е) 4, Ж) 57.