26. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b, если a = 2³ ⋅ 3² ⋅ 5² и b = 2⁴ ⋅ 3 ⋅ 5.

Решение

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел, представленных в виде разложения на простые множители, нужно:

• Для НОД: взять общие простые множители в наименьшей степени.
• Для НОК: взять все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений, в наибольшей степени.

Дано:

a = \( 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)

b = \( 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)

Наибольший общий делитель (НОД):

Общие множители: 2, 3, 5.

Наименьшая степень для 2: \( 2^3 \)

Наименьшая степень для 3: \( 3^1 \)

Наименьшая степень для 5: \( 5^1 \)

НОД(a, b) = \( 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)

Наименьшее общее кратное (НОК):

Все множители: 2, 3, 5.

Наибольшая степень для 2: \( 2^4 \)

Наибольшая степень для 3: \( 3^2 \)

Наибольшая степень для 5: \( 5^2 \)

НОК(a, b) = \( 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 16 \cdot 9 \cdot 25 = 3600 \)

Ответ:

НОД(a, b) = 120

НОК(a, b) = 3600