27. 114+n ifoda qiymati tub son boʻlishi uchun n o'rniga qanday eng kichik natural sonni qo'yish kerak?

Решение:

Нужно найти наименьшее натуральное число \( n \), при котором \( 114 + n \) будет простым числом.

1. Натуральные числа начинаются с 1. Проверим последовательно значения \( n \):
• При \( n = 1 \): \( 114 + 1 = 115 \). Число 115 оканчивается на 5, значит, делится на 5. Это не простое число.
• При \( n = 2 \): \( 114 + 2 = 116 \). Число 116 чётное, значит, делится на 2. Это не простое число.
• При \( n = 3 \): \( 114 + 3 = 117 \). Сумма цифр 1+1+7 = 9, значит, число делится на 9 (и на 3). Это не простое число.
• При \( n = 4 \): \( 114 + 4 = 118 \). Число 118 чётное, значит, делится на 2. Это не простое число.
• При \( n = 5 \): \( 114 + 5 = 119 \). Проверим делимость на простые числа: \( 119 \div 7 = 17 \). Значит, 119 делится на 7 и 17. Это не простое число.
• При \( n = 6 \): \( 114 + 6 = 120 \). Число 120 чётное, значит, делится на 2. Это не простое число.
• При \( n = 7 \): \( 114 + 7 = 121 \). Число \( 121 = 11^2 \), значит, делится на 11. Это не простое число.
• При \( n = 8 \): \( 114 + 8 = 122 \). Число 122 чётное, значит, делится на 2. Это не простое число.
• При \( n = 9 \): \( 114 + 9 = 123 \). Сумма цифр 1+2+3 = 6, значит, число делится на 3. Это не простое число.
• При \( n = 10 \): \( 114 + 10 = 124 \). Число 124 чётное, значит, делится на 2. Это не простое число.
• При \( n = 11 \): \( 114 + 11 = 125 \). Число 125 оканчивается на 5, значит, делится на 5. Это не простое число.
• При \( n = 12 \): \( 114 + 12 = 126 \). Число 126 чётное, значит, делится на 2. Это не простое число.
• При \( n = 13 \): \( 114 + 13 = 127 \). Проверим делимость 127 на простые числа: 7, 11. \( 127 \div 7 ≈ 18.14 \), \( 127 \div 11 ≈ 11.54 \). Так как \( 11^2 = 121 \) и \( 13^2 = 169 \), достаточно проверить делимость на простые числа до 11. 127 не делится на 2, 3, 5, 7, 11. Следовательно, 127 — простое число.

Наименьшее натуральное число \( n \), при котором \( 114 + n \) является простым числом, равно 13.

Ответ: 13