27 На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

Задание 27

Пусть \( n \) — общее число учёных на конференции. Среди них есть 5 учёных, каждый из которых знаком с 3 другими. Остальные \( n - 5 \) учёных знакомы с 4 другими.

Сумма степеней всех вершин (учёных) должна быть четным числом (удвоенное число ребер — знакомств).

Сумма степеней = \( 5 \times 3 + (n - 5) \times 4 \) = \( 15 + 4n - 20 = 4n - 5 \).

Выражение \( 4n - 5 \) всегда будет нечетным числом, так как \( 4n \) — четное, а \( -5 \) — нечетное. Четное минус нечетное дает нечетное.

Так как сумма степеней должна быть четной, а мы получили нечетную, то такое условие невозможно.

Ответ: Нет, такое условие невозможно, так как сумма степеней всех вершин (знакомств) в графе должна быть четной, а в данном случае она получается нечетной.