27. На рисунке 105 ∠ABD = ∠FBK, ∠DBF = ∠KBC. Докажите, что BF ⟂ AC.

По рисунку лучи BD и BF расположены внутри угла ABF, а лучи BF и BK — внутри угла FBC. Поэтому:

∠ABF = ∠ABD + ∠DBF,

∠FBC = ∠FBK + ∠KBC.

По условию ∠ABD = ∠FBK и ∠DBF = ∠KBC, следовательно, ∠ABF = ∠FBC.

Точки A, B и C лежат на одной прямой, поэтому ∠ABF + ∠FBC = 180°. Равные углы в сумме дают 180°, значит каждый равен 90°.

Следовательно, BF ⟂ AC.