27. Тип 9 № 3415 В графе 10 ребер. Каждая вершина графа имеет или степень 2, или степень 3. Причём вершин степени 2 на 5 меньше, чем вершин степени 3. Сколько вершин в этом графе?

Решение:

Пусть \( x \) — количество вершин степени 3, тогда \( x - 5 \) — количество вершин степени 2.

Общее количество вершин равно \( x + (x - 5) = 2x - 5 \).

По лемме о рукопожатиях (теорема о сумме степеней вершин), сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. В данном графе 10 ребер, значит, сумма степеней равна \( 2 \times 10 = 20 \).

Составим уравнение, исходя из суммы степеней вершин:

\( 3x + 2(x - 5) = 20 \)

Решим уравнение:

\( 3x + 2x - 10 = 20 \)

\( 5x = 30 \)

\( x = 6 \)

Таким образом, вершин степени 3 — \( 6 \).

Вершин степени 2 — \( x - 5 = 6 - 5 = 1 \).

Общее количество вершин в графе равно сумме вершин с разными степенями: \( 6 + 1 = 7 \).

Ответ: 7.