27. Задайте гиперболу $$y = \frac{k}{x}$$ формулой, если известно, что она проходит через точку: a) $$\left(-\frac{1}{4}; 12\right)$$; б) $$\left(6\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$$; в) $$\left(\frac{1}{8}; -4\right)$$; г) $$\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}; -\sqrt{27}\right)$$.

Решение:

Для того чтобы найти значение k, нужно подставить координаты заданной точки в уравнение гиперболы $$y = \frac{k}{x}$$.

а) Точка $$\left(-\frac{1}{4}; 12\right)$$

1. Подставим значения x и y в уравнение:
$$ 12 = \frac{k}{-\frac{1}{4}} $$
2. Решим уравнение относительно k:
$$ k = 12 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -3 $$
3. Формула гиперболы:
$$ y = \frac{-3}{x} $$

б) Точка $$\left(6\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$$

1. Подставим значения x и y в уравнение:
$$ \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{k}{6\sqrt{2}} $$
2. Решим уравнение относительно k:
$$ k = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{6 \cdot (\sqrt{2})^2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4 $$
3. Формула гиперболы:
$$ y = \frac{4}{x} $$

в) Точка $$\left(\frac{1}{8}; -4\right)$$

1. Подставим значения x и y в уравнение:
$$ -4 = \frac{k}{\frac{1}{8}} $$
2. Решим уравнение относительно k:
$$ k = -4 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} $$
3. Формула гиперболы:
$$ y = \frac{-\frac{1}{2}}{x} $$

г) Точка $$\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}; -\sqrt{27}\right)$$

1. Предварительно упростим $$\sqrt{27}$$:
$$ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} $$
2. Подставим значения x и y в уравнение:
$$ -3\sqrt{3} = \frac{k}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} $$
3. Решим уравнение относительно k:
$$ k = -3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3 $$
4. Формула гиперболы:
$$ y = \frac{3}{x} $$

Ответ:

• а) $$y = \frac{-3}{x}$$
• б) $$y = \frac{4}{x}$$
• в) $$y = \frac{-\frac{1}{2}}{x}$$
• г) $$y = \frac{3}{x}$$