8.22. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной: a) $$\frac{b^{5}\left(b^{-4}\right)^{2}}{b^{-2 b}}$$ при $$b=3^{-1}$$; б) $$\frac{\left(n^{-5}\right)^{3} n}{n^{-2} n^{-10}}$$ при $$n=4$$.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Вычисление значения выражения при $$b=3^{-1}$$:

Упростим выражение:
$$ \frac{b^{5}\left(b^{-4}\right)^{2}}{b^{-2 b}} = \frac{b^{5} \cdot b^{-4 \cdot 2}}{b^{-2 b}} = \frac{b^{5} \cdot b^{-8}}{b^{-2 b}} = \frac{b^{5-8}}{b^{-2 b}} = \frac{b^{-3}}{b^{-2 b}} = b^{-3 - (-2 b)} = b^{-3 + 2 b} $$
Подставим значение $$b=3^{-1}$$:
$$ b^{-3 + 2 b} = \left(3^{-1}\right)^{-3 + 2 \cdot \left(3^{-1}\right)} = \left(3^{-1}\right)^{-3 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \left(3^{-1}\right)^{-3 + \frac{2}{3}} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{-9+2}{3}} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{-7}{3}} = 3^{\left(-1\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right)} = 3^{\frac{7}{3}} $$

Ответ: $$3^{\frac{7}{3}}$$

б) Упрощение выражения:

Упростим выражение, используя свойства степеней:
$$ \frac{\left(n^{-5}\right)^{3} n}{n^{-2} n^{-10}} = \frac{n^{-5 \cdot 3} \cdot n^{1}}{n^{-2 + (-10)}} = \frac{n^{-15} \cdot n^{1}}{n^{-12}} = \frac{n^{-15+1}}{n^{-12}} = \frac{n^{-14}}{n^{-12}} = n^{-14 - (-12)} = n^{-14 + 12} = n^{-2} $$
Подставим значение $$n=4$$:
$$ n^{-2} = 4^{-2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} $$

Ответ: $$\frac{1}{16}$$