273. Задача Софи Жермен. Докажите, что числа вида $n^4+4$ при [условие на $n$ обрезано] составные.

Question

Вопрос: $Фото задания: 273. Задача Софи Жермен. Докажите, что числа вида $n^4+4$ при [условие на $n$ обрезано] составные.$ Фото задания

273. Задача Софи Жермен. Докажите, что числа вида $n^4+4$ при [условие на $n$ обрезано] составные.

Accepted Answer

На фотографии обрезано условие на $n$. Разложим выражение на множители:

\[n^4+4=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2).\]

При натуральном $n>1$ оба множителя больше 1: $n^2-2n+2=(n-1)^2+1\ge2$, а $n^2+2n+2>1$. Значит, число составное. Если условие допускает $n=1$, утверждение для него неверно: $1^4+4=5$ — простое. Для точного восстановления задания нужен обрезанный фрагмент с ограничением на $n$.

273. Задача Софи Жермен. Докажите, что числа вида \(n^4+4\) при [условие на \(n\) обрезано] составные.

Ответ: