274. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение $n^3+2n^2+n+2$ является составным числом.

Question

Вопрос: $Фото задания: 274. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение $n^3+2n^2+n+2$ является составным числом.$ Фото задания

Accepted Answer

Сгруппируем слагаемые:

\[n^3+2n^2+n+2=n^2(n+2)+(n+2).\]

Вынесем общий множитель:

\[n^3+2n^2+n+2=(n^2+1)(n+2).\]

При натуральном $n\ge1$ оба множителя больше 1. Следовательно, выражение всегда задаёт составное число.

Ответ: $n^3+2n^2+n+2=(n^2+1)(n+2)$, поэтому число составное.

274. Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение \(n^3+2n^2+n+2\) является составным числом.