274. Представьте выражение в виде степени с основанием а или произведения степеней с разными основаниями: 1) a⁻⁶ ⋅ a³; 2) a⁵ ⋅ a⁻⁸; 3) a⁻⁵ ⋅ a¹⁰ ⋅ a⁻¹²; 4) a⁻² : a⁶; 5) a⁷ : a³; 6) a⁻³ : a⁻¹⁵; 7) a¹² ⋅ a⁻²⁰ : a⁻⁹; 8) (a⁻⁵)⁴; 9) (a⁻⁶)⁻⁸; 10) (a²)⁻⁴ ⋅ (a⁻³)² : (a⁻⁸)³; 11) (a⁴b⁻²c³)⁻¹⁰; 12) (a¹⁰b⁻⁷ / c⁶d⁻¹⁴)⁻²

Решение:

Для упрощения выражений используем свойства степеней:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• Деление степеней с одинаковым основанием: \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
• Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• Произведение степеней с разными основаниями: \( (ab)^n = a^n b^n \)
• Частное степеней с разными основаниями: \( (a/b)^n = a^n / b^n \)
• Отрицательная степень: \( a^{-n} = 1/a^n \)

1. \( a^{-6} \cdot a^3 = a^{-6+3} = a^{-3} \)
2. \( a^5 \cdot a^{-8} = a^{5+(-8)} = a^{-3} \)
3. \( a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-5+10+(-12)} = a^{-7} \)
4. \( a^{-2} : a^6 = a^{-2-6} = a^{-8} \)
5. \( a^7 : a^3 = a^{7-3} = a^4 \)
6. \( a^{-3} : a^{-15} = a^{-3-(-15)} = a^{-3+15} = a^{12} \)
7. \( a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9} = a^{12+(-20)-(-9)} = a^{12-20+9} = a^1 = a \)
8. \( (a^{-5})^4 = a^{-5 \cdot 4} = a^{-20} \)
9. \( (a^{-6})^{-8} = a^{-6 \cdot (-8)} = a^{48} \)
10. \( (a^2)^{-4} \cdot (a^{-3})^2 : (a^{-8})^3 = a^{2 \cdot (-4)} \cdot a^{-3 \cdot 2} : a^{-8 \cdot 3} = a^{-8} \cdot a^{-6} : a^{-24} = a^{-8+(-6)-(-24)} = a^{-14+24} = a^{10} \)
11. \( (a^4b^{-2}c^3)^{-10} = (a^4)^{-10} \cdot (b^{-2})^{-10} \cdot (c^3)^{-10} = a^{-40}b^{20}c^{-30} \)
12. \( \left(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}}\right)^{-2} = \frac{(a^{10})^{-2} \cdot (b^{-7})^{-2}}{(c^6)^{-2} \cdot (d^{-14})^{-2}} = \frac{a^{-20}b^{14}}{c^{-12}d^{28}} = a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28} \)

Ответ: 1) \( a^{-3} \); 2) \( a^{-3} \); 3) \( a^{-7} \); 4) \( a^{-8} \); 5) \( a^4 \); 6) \( a^{12} \); 7) \( a \); 8) \( a^{-20} \); 9) \( a^{48} \); 10) \( a^{10} \); 11) \( a^{-40}b^{20}c^{-30} \); 12) \( a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28} \).