275. Представьте выражение в виде степени с основанием а или произведения степеней с разными основаниями: 1) a⁶ ⋅ a⁻¹⁰; 2) a⁴ : a⁷; 3) a⁻⁵ : a⁻⁹; 4) (a⁻²)⁶; 5) (a⁻³b⁻¹c⁷)⁻⁴; 6) (a² / (bc⁻¹))⁻³; 7) a⁻¹⁶ ⋅ a⁸ : a⁴; 8) (a⁻³)⁸ ⋅ (a⁻¹)⁷ ⋅ (a⁻⁷)⁴

Решение:

Используем свойства степеней:

• \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
• \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• \( (ab)^n = a^n b^n \)
• \( (a/b)^n = a^n / b^n \)
• \( a^{-n} = 1/a^n \)

1. \( a^6 \cdot a^{-10} = a^{6+(-10)} = a^{-4} \)
2. \( a^4 : a^7 = a^{4-7} = a^{-3} \)
3. \( a^{-5} : a^{-9} = a^{-5-(-9)} = a^{-5+9} = a^4 \)
4. \( (a^{-2})^6 = a^{-2 \cdot 6} = a^{-12} \)
5. \( (a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4} = (a^{-3})^{-4} \cdot (b^{-1})^{-4} \cdot (c^7)^{-4} = a^{12}b^4c^{-28} \)
6. \( \left(\frac{a^2}{bc^{-1}}\right)^{-3} = \frac{(a^2)^{-3}}{(b)^{-3}(c^{-1})^{-3}} = \frac{a^{-6}}{b^{-3}c^{3}} = a^{-6}b^3c^{-3} \)
7. \( a^{-16} \cdot a^8 : a^4 = a^{-16+8-4} = a^{-12} \)
8. \( (a^{-3})^8 \cdot (a^{-1})^7 \cdot (a^{-7})^4 = a^{-24} \cdot a^{-7} \cdot a^{-28} = a^{-24+(-7)+(-28)} = a^{-59} \)

Ответ: 1) \( a^{-4} \); 2) \( a^{-3} \); 3) \( a^4 \); 4) \( a^{-12} \); 5) \( a^{12}b^4c^{-28} \); 6) \( a^{-6}b^3c^{-3} \); 7) \( a^{-12} \); 8) \( a^{-59} \).