277. Найдите значение выражения: 1) 6⁻⁹ ⋅ 6⁶; 2) 7⁻¹⁶ : 7⁻¹⁸; 3) 5⁻⁷ : 5⁻⁶ ⋅ 5³; 4) (4⁻⁷ ⋅ (4⁻⁵)³) / ((4⁻³)⁷); 5) 0,8⁻⁴ ⋅ (1 ¼)⁻⁴; 6) 11⁻² / 22⁻²

Решение:

Используем свойства степеней:

• \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
• \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• \( a^{-n} = 1/a^n \)
• \( a^n / b^n = (a/b)^n \)

1. \( 6^{-9} \cdot 6^6 = 6^{-9+6} = 6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216} \)
2. \( 7^{-16} : 7^{-18} = 7^{-16-(-18)} = 7^{-16+18} = 7^2 = 49 \)
3. \( 5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3 = 5^{-7-(-6)+3} = 5^{-7+6+3} = 5^2 = 25 \)
4. \( \frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7} = \frac{4^{-7} \cdot 4^{-15}}{4^{-21}} = \frac{4^{-7+(-15)}}{4^{-21}} = \frac{4^{-22}}{4^{-21}} = 4^{-22-(-21)} = 4^{-22+21} = 4^{-1} = \frac{1}{4} \)
5. \( 0.8^{-4} \cdot (1 \frac{1}{4})^{-4} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{-4} = \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}\right)^{-4} = 1^{-4} = 1 \)
6. \( \frac{11^{-2}}{22^{-2}} = \left(\frac{11}{22}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \)

Ответ: 1) \( \frac{1}{216} \); 2) 49; 3) 25; 4) \( \frac{1}{4} \); 5) 1; 6) 4.