277. Решить уравнение: 1) \(\log_6 x=3\); 2) \(\log_5 x=4\); 3) \(\log_2(5-x)=3\); 4) \(\log_3(x+2)=3\); 5) \(\log_{\frac16}(0,5+x)=-1\).

Переходим от логарифмической записи к показательной: если \(\log_a b=c\), то \(b=a^c\). Проверяем допустимость аргументов.

1. \(\log_6 x=3\Rightarrow x=6^3=216\). Условие \(x>0\) выполнено.
2. \(\log_5 x=4\Rightarrow x=5^4=625\). Условие \(x>0\) выполнено.
3. \(\log_2(5-x)=3\Rightarrow 5-x=2^3=8\Rightarrow x=-3\). Тогда \(5-x=8>0\), корень подходит.
4. \(\log_3(x+2)=3\Rightarrow x+2=3^3=27\Rightarrow x=25\). Тогда \(x+2>0\), корень подходит.
5. \(\log_{\frac16}(0,5+x)=-1\Rightarrow 0,5+x=(\frac16)^{-1}=6\Rightarrow x=5,5\). Тогда \(0,5+x=6>0\), корень подходит.

Ответ: 1) \(216\); 2) \(625\); 3) \(-3\); 4) \(25\); 5) \(5,5\).