28. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Дано:

• Ромб ABCD.
• O — точка пересечения диагоналей AC и BD.
• OK \(⊥\) AB (OK — перпендикуляр к стороне AB).
• \( ∠ KOB = 35^° \).

Найти: острый угол ромба.

Решение:

1. В ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и делятся точкой пересечения пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.
2. Рассмотрим треугольник KOB. \( ∠ OKB = 90^° \) (по условию).
3. \( ∠ KOB = 35^° \) (дано).
4. Сумма углов в треугольнике KOB: \( ∠ OBK + ∠ OKB + ∠ KOB = 180^° \).
5. \( ∠ OBK + 90^° + 35^° = 180^° \)
6. \( ∠ OBK = 180^° - 90^° - 35^° = 55^° \).
7. Угол OBK — это угол \( ∠ ABC \) (так как O лежит на диагонали AC, а K на стороне AB, то угол OBK совпадает с углом ABC).
8. Так как диагонали ромба делят углы пополам, то \( ∠ ABC = 2 ∠ OBK \).
9. \( ∠ ABC = 2 ∠ KOB \) - это неверно. \( ∠ ABC = 2 ∠ OBC \) (если BD - диагональ). \( ∠ KOB = 35^° \). \( ∠ OBK = 55^° \).
10. Диагональ BD делит угол B пополам, т.е. \( ∠ ABD = ∠ CBD = ∠ ABC / 2 \).
11. Угол OBK — это угол \( ∠ ABD \), если K лежит на AB, а O на BD. Но K лежит на стороне AB, а O - на пересечении диагоналей. Значит, OB - часть диагонали BD. Угол OBK — это угол между диагональю BD и стороной AB. \( ∠ OBK = ∠ ABD \).
12. Значит, \( ∠ ABD = 55^° \).
13. Так как диагональ BD делит угол B пополам, \( ∠ ABC = 2 ∠ ABD = 2 ∠ KOB \). Это не так. \( ∠ ABC = 2 ∠ ABD = 2 ∠ KOB \) - некорректно. \( ∠ ABC = 2 ∠ ABD \). \( ∠ ABD = 55^° \) - это из \( ∠ OBK = 55^° \).
14. \( ∠ ABC = 2 \times 55^° = 110^° \).
15. Угол B = 110°. Этот угол тупой.
16. Острый угол ромба — это угол, прилежащий к нему, т.е. угол A.
17. \( ∠ A + ∠ B = 180^° \)
18. \( ∠ A = 180^° - 110^° = 70^° \).
19. Проверка: \( ∠ KOB = 35^° \). \( ∠ OKB = 90^° \). \( ∠ OBK = 55^° \). \( ∠ ABD = 55^° \). \( ∠ ABC = 110^° \). \( ∠ A = 70^° \). Диагональ AC делит \( ∠ A \) пополам, т.е. \( ∠ OAB = 35^° \). В треугольнике AOB: \( ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180^° \). \( 35^° + 55^° + 90^° = 180^° \). Все верно.

Ответ: 70°.