Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 28. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол…Фото задания

Ответ:

Решение

Дано:

  • Ромб ABCD.
  • O — точка пересечения диагоналей AC и BD.
  • OK \(⊥\) AB (OK — перпендикуляр к стороне AB).
  • \( ∠ KOB = 35^\circ \).

Найти: острый угол ромба.

Решение:

  1. В ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и делятся точкой пересечения пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.
  2. Рассмотрим треугольник KOB. \( ∠ OKB = 90^\circ \) (по условию).
  3. \( ∠ KOB = 35^\circ \) (дано).
  4. Сумма углов в треугольнике KOB: \( ∠ OBK + ∠ OKB + ∠ KOB = 180^\circ \).
  5. \( ∠ OBK + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ \)
  6. \( ∠ OBK = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).
  7. Угол OBK — это угол \( ∠ ABC \) (так как O лежит на диагонали AC, а K на стороне AB, то угол OBK совпадает с углом ABC).
  8. Так как диагонали ромба делят углы пополам, то \( ∠ ABC = 2 ∠ OBK \).
  9. \( ∠ ABC = 2 ∠ KOB \) - это неверно. \( ∠ ABC = 2 ∠ OBC \) (если BD - диагональ). \( ∠ KOB = 35^\circ \). \( ∠ OBK = 55^\circ \).
  10. Диагональ BD делит угол B пополам, т.е. \( ∠ ABD = ∠ CBD = ∠ ABC / 2 \).
  11. Угол OBK — это угол \( ∠ ABD \), если K лежит на AB, а O на BD. Но K лежит на стороне AB, а O - на пересечении диагоналей. Значит, OB - часть диагонали BD. Угол OBK — это угол между диагональю BD и стороной AB. \( ∠ OBK = ∠ ABD \).
  12. Значит, \( ∠ ABD = 55^\circ \).
  13. Так как диагональ BD делит угол B пополам, \( ∠ ABC = 2 ∠ ABD = 2 ∠ KOB \). Это не так. \( ∠ ABC = 2 ∠ ABD = 2 ∠ KOB \) - некорректно. \( ∠ ABC = 2 ∠ ABD \). \( ∠ ABD = 55^\circ \) - это из \( ∠ OBK = 55^\circ \).
  14. \( ∠ ABC = 2 \times 55^\circ = 110^\circ \).
  15. Угол B = 110°. Этот угол тупой.
  16. Острый угол ромба — это угол, прилежащий к нему, т.е. угол A.
  17. \( ∠ A + ∠ B = 180^\circ \)
  18. \( ∠ A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
  19. Проверка: \( ∠ KOB = 35^\circ \). \( ∠ OKB = 90^\circ \). \( ∠ OBK = 55^\circ \). \( ∠ ABD = 55^\circ \). \( ∠ ABC = 110^\circ \). \( ∠ A = 70^\circ \). Диагональ AC делит \( ∠ A \) пополам, т.е. \( ∠ OAB = 35^\circ \). В треугольнике AOB: \( ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180^\circ \). \( 35^\circ + 55^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Все верно.

Ответ: 70°.