287. а) Два мотоциклиста выехали одновременно с одинаковой скоростью из пункта A в пункт B, находящиеся друг от друга на расстоянии 100 км. Через 30 минут после начала движения у одного из них случилась поломка, и ему пришлось остановиться для замены колеса. Потратив на это 15 минут, он продолжил движение, увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, и прибыл в пункт B одновременно с мотоциклистом, двигавшимся без остановок. За сколько часов они преодолели путь из A в B? б) Из пункта A в одном направлении выехали одновременно с одинаковой скоростью два мотоциклиста. Через 30 минут после начала движения у одного из них случилась поломка. Потратив на замену колеса 15 минут, он продолжил движение, увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, и догнал мотоциклиста, двигавшегося без остановок. Определите, на каком расстоянии от пункта A он догнал другого мотоциклиста, если с момента их выезда прошло ровно 2 часа.

а) Пусть первоначальная скорость мотоциклистов равна \(v\) км/ч. Второй мотоциклист ехал до финиша \(\frac{100}{v}\) часа. Первый проехал за первые полчаса \(0.5v\) км, остановился на \(0.25\) часа, а оставшиеся \(100-0.5v\) км ехал со скоростью \(v+10\) км/ч.

Времена прибытия равны: \(0.5+0.25+\frac{100-0.5v}{v+10}=\frac{100}{v}\). После упрощения получаем \(v^2+30v-4000=0\). Положительный корень — \(v=50\) км/ч. Значит, время в пути второго мотоциклиста равно \(100:50=2\) часа.

б) Пусть первоначальная скорость каждого мотоциклиста равна \(v\) км/ч. За 2 часа мотоциклист без остановки проехал \(2v\) км. Второй ехал первые 0.5 часа со скоростью \(v\), стоял 0.25 часа, затем ехал 1.25 часа со скоростью \(v+10\).

К моменту встречи пройденные расстояния равны: \(0.5v+1.25(v+10)=2v\). Отсюда \(v=25\) км/ч. Расстояние от A до места встречи: \(2\cdot25=50\) км.

Ответ: а) 2 часа; б) 50 км.