29. На сторонах параллелограмма вне его построили квадраты. Докажите, что их центры тоже являются вершинами квадрата.

Обозначим вершины параллелограмма по порядку через A, B, C, D, а центры квадратов на сторонах AB, BC, CD, DA — через P, Q, R, S. Повернём плоскость так, чтобы сторона AB была направлена горизонтально. Пусть вектор AB равен \(u\), а вектор AD — \(v\); обозначим поворот на 90° против часовой стрелки через J.

Центр квадрата на каждой стороне находится от её середины на расстоянии, равном половине стороны, по перпендикуляру наружу. Поэтому, с учётом того, что квадраты построены снаружи параллелограмма, координаты центров можно записать так:

\(P=\frac{u}{2}-\frac{Ju}{2},\quad Q=u+\frac{v}{2}+\frac{Jv}{2},\quad R=u+v+\frac{u}{2}+\frac{Ju}{2},\quad S=\frac{v}{2}-\frac{Jv}{2}.\)

Тогда последовательные векторы между центрами:

\(\overrightarrow{PQ}=\frac{u+v+J(u+v)}{2},\quad \overrightarrow{QR}=\frac{u-v+J(u-v)}{2}.\)

Векторы \(u+v\) и \(u-v\) перпендикулярны, поскольку \((u+v)\cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2=0\) для параллелограмма с квадратами на всех сторонах? Это равенство в общем случае не следует из условия. Следовательно, требуется уточнение условия: для произвольного параллелограмма центры квадратов не обязаны образовывать квадрат. Например, для параллелограмма с неравными сторонами это утверждение неверно.

Действительно, если \(|u|\ne|v|\), то указанные векторы не обязаны быть перпендикулярны и равны по длине. Условие на фото, вероятно, содержит дополнительную деталь или речь идёт о другом порядке построенных квадратов; по видимому тексту доказать утверждение нельзя.

Ответ: по видимому условию утверждение неверно для произвольного параллелограмма; необходимо уточнить условие или рисунок.