31. Середины двух сторон прямоугольника соединили с его вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что отмеченные на нём углы равны.

Обозначим прямоугольник координатами \((0,0),(2a,0),(2a,2b),(0,2b)\). Середины верхней и правой сторон имеют координаты \((a,2b)\) и \((2a,b)\). На рисунке отмечены углы при пересечении прямых, соединяющих противоположные вершины с этими серединами.

У прямой, соединяющей верхнюю левую вершину с серединой правой стороны, наклон равен \(-b/(2a)\), а у прямой, соединяющей нижнюю левую вершину с серединой верхней стороны, наклон равен \(2b/a\). Для второй пары прямых соответствующие наклоны меняются местами по модулю, поэтому острые углы между пересекающимися прямыми равны: при вычислении угол между прямыми определяется их наклонами, а поворот обеих прямых на 90° сохраняет величину угла.

Однако по фотографии невозможно однозначно прочитать, какие именно линии образуют обе отмеченные дугами угла: схемы пересекающихся отрезков и положение дуг не позволяют надёжно установить их стороны. Для строгого доказательства нужно уточнить, какие четыре отрезка ограничивают отмеченные углы, либо прислать более чёткий снимок рисунка.