32. На сторонах AD и CD квадрата ABCD взяли точки K и E так, что угол ABK равен 15°, а угол EKD равен 30°. Найдите угол KBE.

Пусть сторона квадрата равна 1, а координаты вершин: \(A=(0,0)\), \(B=(0,1)\), \(D=(1,0)\). Так как \(\angle ABK=15°\), точка K на AD имеет координаты \((\tan15°,0)\). Луч KE образует с KD угол 30°, поэтому его наклон равен \(\tan30°\), а точка E на CD имеет координаты \((1,(1-\tan15°)\tan30°)\).

Поскольку \(\tan15°=2-\sqrt3\) и \(\tan30°=1/\sqrt3\), получаем \((1-\tan15°)\tan30°=1/\sqrt3\). Значит, отрезок BE направлен под углом 30° к горизонтали вниз, а BK направлен от B под углом 105° к горизонтали вниз. Разность направлений равна \(105°-30°=75°\).

Ответ: \(\angle KBE=75°\).