33. Сторона ромба ABCD равна 1. Внутри него взяли точку E так, что треугольник BCE равносторонний. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, E и D.

Обозначим \(\angle DAB=\theta\). Возьмём координаты \(A=(0,0)\), \(D=(1,0)\), \(B=(\cos\theta,\sin\theta)\), \(C=(1+\cos\theta,\sin\theta)\). Для равностороннего треугольника BCE, расположенного внутри ромба, точка E имеет координаты \((\cos\theta+\frac12,\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2})\).

Центр окружности, проходящей через A и D, лежит на серединном перпендикуляре к AD, поэтому имеет координаты \((\frac12,t)\). Подстановка условия равенства расстояний до A и E даёт

\(t=\frac{1+\cos\theta+\sqrt3\sin\theta}{2(\sin\theta+\sqrt3/2)}\), а радиус равен \(r=\sqrt{\frac14+t^2}\).

Этот радиус зависит от угла \(\theta\), то есть от формы ромба. Например, при \(\theta=90°\) он равен \(\sqrt{13}/4\), а при другом допустимом угле значение изменится. В условии не задан угол ромба и не указано дополнительное свойство, которое его определяет.

Ответ: однозначно найти радиус нельзя; не хватает величины угла ромба (или другого условия, задающего его форму).