29. Найдите cosx, если sinx=√5/10 и 90°<x<180°.

Привет! Давай разберем эту задачку по тригонометрии.

Дано:

• \[ \sin x = \frac{\sqrt{5}}{10} \]
• \[ 90^{\circ} < x < 180^{\circ} \]

Найти: \[ \cos x \]

Решение:

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Подставим известное значение \[ \sin x \]:

\[ \left( \frac{\sqrt{5}}{10} \right)^2 + \cos^2 x = 1 \]

\[ \frac{5}{100} + \cos^2 x = 1 \]

\[ \frac{1}{20} + \cos^2 x = 1 \]

Теперь найдем \[ \cos^2 x \]:

\[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{20} \]

\[ \cos^2 x = \frac{20}{20} - \frac{1}{20} \]

\[ \cos^2 x = \frac{19}{20} \]

Чтобы найти \[ \cos x \], извлечем квадратный корень:

\[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{19}{20}} \]

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}} \]

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} \]

Умножим числитель и знаменатель на √5, чтобы избавиться от корня в знаменателе:

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{19} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \]

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{95}}{2 \cdot 5} \]

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{95}}{10} \]

Теперь самое важное: определить знак. Нам дано, что [ 90^{\(\circ\)} < x < 180^{\(\circ\)} \]. Это означает, что угол x находится во втором координатном угле. Во втором угле косинус отрицательный.

Поэтому выбираем отрицательное значение:

\[ \cos x = - \frac{\sqrt{95}}{10} \]

Ответ:

\[ \cos x = - \frac{\sqrt{95}}{10} \]