299. Докажите, что функция y = ax^2 при a < 0 возрастает на промежутке [0; +∞) и убывает на промежутке (-∞; 0].

Решение:

Пусть \( a < 0 \). Рассмотрим функцию \( y = ax^2 \).

Доказательство возрастания на \( [0; +\infty) \):

Возьмем два числа \( x_1 \) и \( x_2 \) из промежутка \( [0; +\infty) \) таких, что \( x_1 < x_2 \). Так как \( x_1 \) и \( x_2 \) неотрицательны, то \( x_1^2 < x_2^2 \).

Так как \( a < 0 \), то при умножении обеих частей неравенства на \( a \) знак неравенства меняется на противоположный:

\[ ax_1^2 > ax_2^2 \]

Это означает, что \( y_1 > y_2 \), то есть функция убывает на промежутке \( [0; +\infty) \). (Здесь была ошибка в условии задачи, исправим в доказательстве).

Доказательство убывания на \( (-\infty; 0] \):

Возьмем два числа \( x_1 \) и \( x_2 \) из промежутка \( (-\infty; 0] \) таких, что \( x_1 < x_2 \). Так как \( x_1 \) и \( x_2 \) отрицательны (или одно из них ноль), то \( |x_1| > |x_2| \).

Следовательно, \( x_1^2 > x_2^2 \).

Так как \( a < 0 \), то при умножении обеих частей неравенства на \( a \) знак неравенства меняется на противоположный:

\[ ax_1^2 < ax_2^2 \]

Это означает, что \( y_1 < y_2 \), то есть функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \). (Здесь была ошибка в условии задачи, исправим в доказательстве).

Вывод: доказано, что функция \( y = ax^2 \) при \( a < 0 \) возрастает на \( (-\infty; 0] \) и убывает на \( [0; +\infty) \).