№2 a) \(\sqrt{x^2+x-3} = \sqrt{1+2x}\)

Решение:

Для решения уравнения \(\sqrt{x^2+x-3} = \sqrt{1+2x}\) необходимо учесть условия существования корней и возвести обе части в квадрат.

1. Условия существования корней:
   \( x^2 + x - 3 \ge 0 \)
   \( 1 + 2x \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -1 \Rightarrow x \ge -0.5 \>
2. Возводим обе части в квадрат:
   \( x^2 + x - 3 = 1 + 2x \)
3. Переносим все члены в одну сторону:
   \( x^2 + x - 2x - 3 - 1 = 0 \)
   \( x^2 - x - 4 = 0 \)
4. Найдём дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \)
5. Найдём корни:
   \( x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \)
   \( x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \)
6. Проверим корни на соответствие условию \( x \ge -0.5 \):
   \( \sqrt{17} \approx 4.12 \)
   \( x_1 = \frac{1 + 4.12}{2} = \frac{5.12}{2} = 2.56 \). Это значение \( \ge -0.5 \), значит, корень подходит.
   \( x_2 = \frac{1 - 4.12}{2} = \frac{-3.12}{2} = -1.56 \). Это значение \( < -0.5 \), значит, корень не подходит.

Ответ: \(x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\).