3) (1,5 б) Виконайте побудову до завдання. З точки О перетину діагоналей квадрата ABCD побудовано до площини квадрата перпендикуляр ОЕ. Знайдіть відстань від точки Е до вершин квадрата, якщо АВ = 8, ОЕ = 2√2.

Решение:

1. Дано: ABCD — квадрат, AB = 8. O — точка перетину діагоналей. OE ⊥ ABCD. OE = \( 2\sqrt{2} \).

2. Знайти: EA, EB, EC, ED.

3. Побудова:

• У квадраті діагоналі рівні, перетинаються і діляться навпіл. \( AC = BD = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \).
• \( OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} x\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \).
• Розглянемо прямокутні трикутники EOA, EOB, EOC, EOD. У них спільний катет OE, а інші катети OA, OB, OC, OD рівні.
• За теоремою Піфагора: \( EA^2 = OE^2 + OA^2 = (2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 2) + (16 \cdot 2) = 8 + 32 = 40 \).
• \( EA = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \).
• Оскільки \( OA = OB = OC = OD \), то \( EA = EB = EC = ED = 2\sqrt{10} \).

Ответ: Відстань від точки Е до кожної вершини квадрата дорівнює \( 2\sqrt{10} \).