5) Увага! Має бути детальне розв'язання. Через середину Н сторони АВ квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр РН, довжина якого √5 см. Сторона квадрата дорівнюють 8√5/5 см. Виконайте побудову та обчисліть: 1) (1,5 б) Відстань від точки Р до вершини квадрата С 2) (1,5 б) Площу трикутника НВС

Решение:

Дано:

• ABCD — квадрат.
• H — середина AB.
• PH ⊥ ABCD.
• \( PH = \sqrt{5} \) см.
• \( AB = \frac{8\sqrt{5}}{5} \) см.

Знайти:

1. PC
2. Площу трикутника HBC

Побудова:

1. Оскільки H — середина AB, то \( AH = HB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} x \frac{8\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \) см.

2. Оскільки ABCD — квадрат, то \( BC = AB = \frac{8\sqrt{5}}{5} \) см.

3. Оскільки PH ⊥ ABCD, то PH ⊥ HC (тому що HC лежить у площині ABCD).

4. Трикутник PHC є прямокутним з прямим кутом H.

Обчислення:

1) Відстань від точки Р до вершини квадрата С (PC):

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику PHC:

\( PC^2 = PH^2 + HC^2 \)

Спочатку знайдемо \( HC^2 \). Оскільки ABCD — квадрат, то \( BC = \frac{8√{5}}{5} \) та \( HB = \frac{4√{5}}{5} \). Трикутник HBC — прямокутний (\( \angle HBC = 90^{\circ} \)).

\( HC^2 = HB^2 + BC^2 \)

\( HC^2 = \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2 \)

\( HC^2 = \frac{16 \cdot 5}{25} + \frac{64 \cdot 5}{25} = \frac{80}{25} + \frac{320}{25} = \frac{400}{25} = 16 \)

Отже, \( HC = \sqrt{16} = 4 \) см.

Тепер обчислимо PC:

\( PC^2 = (\sqrt{5})^2 + 4^2 = 5 + 16 = 21 \)

\( PC = \sqrt{21} \) см.

2) Площа трикутника НВС:

Трикутник HBC є прямокутним, його катети HB і BC.

Площа \( S_{HBC} = \frac{1}{2} \cdot HB \cdot BC \)

\( S_{HBC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{8\sqrt{5}}{5} \)

\( S_{HBC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 5}{25} = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{25} = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{5} = \frac{16}{5} \) см².

Ответ:

1) Відстань від точки Р до вершини квадрата С дорівнює \( \sqrt{21} \) см.

2) Площа трикутника НВС дорівнює \( \frac{16}{5} \) см².