3)(1 балл) Решите уравнение sin x = -√3/2

Решение:

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. На тригонометрическом круге значения синуса \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) соответствуют углам \( \frac{4\pi}{3} \) и \( \frac{5\pi}{3} \).

Общее решение уравнения \( \sin x = a \) имеет вид: \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Значение \( \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \).

Тогда общее решение будет:

\[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Рассмотрим два случая:

1. Если \( n \) — чётное число, \( n = 2k \), где \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi (2k) = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

2. Если \( n \) — нечётное число, \( n = 2k+1 \), где \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k+1} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi (2k+1) = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \]

Альтернативно, мы можем записать решение через два отдельных набора углов, которые мы нашли на тригонометрическом круге:

\[ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)