3. 1. Докажите, что прямые AA₁ и C₁D₁; AA₁ и B₁D; AC и B₁D₁ являются скрещивающимися (рис. 13).

Обозначим векторы AB, AD и AA₁ через u, v и w. В невырожденном параллелепипеде они некомпланарны. Примем точку A за начало координат. Тогда B = u, D = v, C = u + v, A₁ = w, B₁ = u + w, C₁ = u + v + w, D₁ = v + w.

1. Прямые AA₁ и C₁D₁ имеют направления w и u. Они не параллельны. Если бы они были компланарны, вектор AC₁ = u + v + w должен был бы лежать в плоскости направлений u и w. Это невозможно, поскольку u, v, w некомпланарны. Значит, прямые скрещиваются.

2. Направления прямых AA₁ и B₁D — w и v − u − w; они не параллельны. Для их компланарности вектор AB₁ = u + w должен был бы лежать в плоскости направлений w и v − u − w. Но такая плоскость содержит векторы u и v, а u + w не лежит в плоскости основания. Следовательно, прямые скрещиваются.

3. Направления прямых AC и B₁D₁ — u + v и v − u; они не параллельны. Если бы прямые были компланарны, вектор AB₁ = u + w лежал бы в плоскости направлений u + v и v − u. Эта плоскость параллельна плоскости основания, тогда как u + w не параллелен плоскости основания. Значит, прямые скрещиваются.